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海阔天空

——士兵乙的读书笔记

 
 
 

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超弦理论-探究时间、空间及宇宙的本原  

2017-02-11 19:59:34|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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超弦理论-探究时间、空间及宇宙的本原 - 士兵乙 - 海阔天空

 超弦理论认为世界不只是三维的,其理论基础是欧拉的一个公式,公式说所有自然数的和为-1/12,即:1+2+3+……=-1/12。你确定不是在逗我吗?顺此线索,还可发现我们所处的三维空间其实只是更深层次物理结构的一种呈展,简言之,空间就是一种错觉。如此一来,空间所容纳的世间万物恐怕也都是一种幻象,太可怕了。

 然而,我却觉得欧拉的这个公式是不能这么用的。这个公式的出现有其历史背景,当年分析学并非建立在严谨的数学基础之上,人们对处理无穷序列还不太熟练,所以也出现了很多荒谬的结论,这个欧拉公式就是其中之一。在书附录中的证明过程中,初等方法明显存在错误,强行在收敛域之外套用求和公式,而在高等方法中,使用了黎曼的zeta函数,且只有在解析延拓的意义下才具有意义。这两种方法均不能严谨的证明欧拉公式的成立,而这个作者还奉为圭臬大捧特捧,颇有点一本正经地扯淡的意味。最近太忙,过阵子有空我要去查查欧拉对巴塞尔问题的解法,我有点怀疑他推导过程的严谨性了。

  其实,对于无穷级数的求和问题,柯西的收敛性判定原则是最为严谨的,其他的都需要人为地定义一些概念。柯西(Cauchy)的数列极限定义是这样的:若Sn=∑ai(i=1n)收敛于s,则对于任意的ε,存在N>0,当n>N时,有|Sn-s|<ε。根据这个定义,一个数列若要柯西收敛,则必须lim(ai)=0(i→∞)。相比之下,切萨罗(Cesaro)求和方法要弱得多,仅需要具备平均收敛的意义就可以了,也就是说,切萨罗求和只需要lim(∑Si/n)(i=1nn→∞)收敛即可。再与之相比,阿贝尔(Abel)求和的条件就更加弱了,阿贝尔求和只需要lim(∑(an*x^n))(n=0→∞,x1-)就行了。照这么说,那我也能给出一个证明,基于切萨罗平均收敛意义的:

S1=1-1+1-1+1-1+1-1+……….=1/2Cesaro求和)

S2=1-2+3-4+5-6+……

2S2=1-2+3-4+5-6+……

      +1-2+3-4+5-6+……

      =1-1+1-1+……=S1

所以S2=S1/2=1/4

S=1+2+3+4+5+6+……

S-S2=1+2+3+4+5+6+……

       -(1-2+3-4+5-6+……)

       =4+8+12+….=4(1+2+3+…)=4S

所以S=-S2/3=-1/12

     于是问题出来了,S1本来就是一种人为定义,并不是严格的级数收敛,把这个定义当做真理去使用,自然会得出荒谬的结论。

 那么,超弦理论是错的了?那也未必。对于无穷发散级数的和的问题,陶哲轩曾经说过一个很经典的观点,他说与其说“算出”一个发散级数的和,倒不如说寻找某种方法来反映级数部分和的某些渐进性质。所以,或许正是这种级数部分和通过这些古怪算法得出的渐进性质反映了大自然最深层次的自然法则。

 这是日本人写的书,有着明显的优缺点。优点是能将复杂问题用简单地语言阐述清晰,举重若轻;缺点就是字里行间体现着日本人的自以为是,比如特别突出日本人的贡献,就连外国人的发现也要强调一下是在日本访问期间想到的新主意,显得视野和心胸不够开阔。

 
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