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——士兵乙的读书笔记

 
 
 

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雨林中的欧几里德-一部故事化的数学简史  

2014-11-07 19:18:38|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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雨林中的欧几里德-一部故事化的数学简史 - 士兵乙 - 海阔天空

        数学有什么用?其实,基本没用。在现实生活中,除了加减乘除四则运算之外,数学基本上是没用的。可能有很多人,即便是当年的理科生,也很多年没有开平方、取对数、解代数方程、三角函数和差化积了,更何况那些更高深的复变函数、泛函分析了。像我这样忙里偷闲有时还会解解微分方程的人肯定是不多见的。事实上,当年学习泛函分析的时候,连老师也不知道那玩意有什么具体用处。高度抽象之后的数学,渐渐远离了物理现实,变得曲高和寡令人难以亲近。那为什么还要学习数学?
        我想,学习数学的目的不在于指望运用它应付每日的生活,而在于训练自己的逻辑思维能力,更好地理解充满因果关系的现实世界,内心理性而不受那些牛鬼蛇神的摆弄。本书分为3大部分,分别讲了逻辑、无穷和概率。在逻辑部分,作者直白地说明了数学逻辑的本质:逻辑并不需要关心客观世界的真实性,它更关心从单个命题的集合中产生有效的推论。亚里士多德在《逻辑学》中给出了一个著名的三段论:1、所有人都会死;2、苏格拉底是人;3、所以,苏格拉底也会死。由前2个命题可以推导出第3个命题,尽管这个推论符合客观现实,但这不是必须的。换个三段论:1、所有的哺乳动物都有八条腿;2、所有的鸟都是哺乳动物;3、所以,所有的鸟都有八条腿。前2个命题依然可以推导出第3个命题,尽管它不符合现实,但在逻辑上依然严谨、无懈可击。就是沿着这样的基本原则,数学往往能够开辟出与现实格格不入的诡异世界,比如非欧几何。
        欧几里得的《几何原本》展示了作者极为严谨的逻辑,从极少的前提推导出那么多结论,令人叹为观止。严谨到什么程度呢?看看欧几里得的前4条公设,就能够感受到他的严谨。
        公设1:由任意一点到任意一点可作直线;
        公设2:一条有限直线可以继续延长;
        公设3:以任意点为心及任意的距离可以画圆;
        公设4:凡直角都相等。
        连这些很显然的结论都需要当作重要的前提去显式地提一下,足见欧几里得的严谨细致。依靠这4条,欧几里得在《几何原本》中证明了前28个问题,但是在第29个问题中,一个新的公设被引入进来:同一平面内两条直线和另一条直线相交,若在某一侧的两个内角的和小于两直角,则这两直线经无限延长后在这一侧相交。这就是著名的第五公设。在纸上画一画就能明白,这也是很显然的。然而,数学家们总感觉这条公设的叙述有些复杂,是不是能用前4条公设证明这第5条呢?数学家们忙乎了2000多年也没有能够证明,但是提出了一系列等价的命题,比如最著名的一种说法就是:在一个平面上,给定一条直线,通过此直线外的任何一点,有且仅有一条直线与之平行。既然证明不了它,就把它当做第五公设好了。但偏有人不甘心,用起了反证法:假设第五公设不正确,看看能不能推导出矛盾,如果推出矛盾,也就证明了第五公设的成立。罗巴切夫斯基假设“过直线外一点至少存在两条直线和已知直线平行”,黎曼假设“过直线外一点,不能做直线和已知直线平行”,但无论如何推导都无法产生矛盾。罗巴切夫斯基和黎曼竟然分别建立了一个逻辑上自洽的系统,严谨清晰地证明了“所有的鸟都有八条腿”,这两种逻辑自洽但却不符合客观现实的几何后来分别叫做罗氏几何和黎曼几何,正是它们构建了非欧几何的大厦。
        似乎是哈代说的,数学是一种思维活动,数学工具往往先于问题的提出。数年以后,爱因斯坦的广义相对论在阐述被大质量天体扭曲的时空时,恰好就用到了黎曼几何。我们以为时空是均匀平坦的,我们凭着直觉选择了欧式几何作为描述我们这个世界运行的工具,然而我们本以为脱离物理现实的黎曼几何却告诉我们世界本是扭曲的。那么,究竟什么是现实?我们就犹如圆形玻璃鱼缸里的金鱼,透过玻璃看到扭曲的世界并习以为常,我们创造了许多方程描述了万物该如何运动,这些方程的预言恰好也能完美地符合观测,我们为自己的理性成就沾沾自喜。然而,如果有一个上帝的话,会不会嘲笑我们眼前看到的都是被扭曲的幻境?
        虽然本书曾连续60周登在《NYSB》科普畅销书排行榜上,作者也得了古根海姆奖,但我不觉得写的很好,甚至还有错误。此外,翻译的人名不太符合常用规范,比如“欧几里德”和“本哈德.黎曼”若翻译成“欧几里得”和“伯恩哈德.黎曼”会更好点吧。人名、地名的翻译一直是老大难问题,不能苛求太多了。
        btw:NYSB居然是敏感词?!服了!
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