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海阔天空

——士兵乙的读书笔记

 
 
 

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微积分的历程-从牛顿到勒贝格  

2013-04-03 20:05:21|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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微积分的历程-从牛顿到勒贝格 - 士兵乙 - 海阔天空

  

微分起源于求切线,积分起源于求面积,所以早期的微积分具有十分浓郁的几何色彩。自牛顿和莱布尼兹以来,分析学家们依托几何直觉,忽略掉严谨的逻辑证明过程,竟然在松散的沙土上建起了大厦。然而,欠下的债总是要还的。许多年以后,以柯西、黎曼、刘维尔和维尔斯特拉斯为代表的经典学派终于为微积分赋予了数学上的严格性。随着“现代学派”的兴起,集合论、测度论的提出,分析学又向前跨越了一大步,勒贝格积分大大拓展了积分的涵义。

经过300年的努力,微积分中具有几何特征的曲线已经让位给了冷冰冰的函数,代数方法取代了几何方法,直觉思维已经转化为冷静的逻辑思维,最终发展成现在这样一门建立在严谨基础上的科学。正是强大的逻辑思维和推理分析,才能告诉我们许多似乎违反直觉的事实:有的处处连续的函数却无处可微、有的可微函数的导数竟然可以不连续、有无限多不连续点的函数竟然黎曼可积……

300多年前,没有高数课本上展示泰勒级数。于是牛顿为了对Sin(X)做级数展开,居然用几何的方法先推导出arcsin(x)的级数展开式,然后再变换到Sin(x),“兜的圈子看来是不可思议的”。看着先人们的努力,忽然感觉到一种强烈的幸福感,因为我们所生活的这个时代知识丰富且获取便捷。我们很容易就能获得无数前人穷其一生,甚至世代守望才能获得的智慧,站在那些巨人的肩上俯瞰真理的海洋,实在是一种难得的幸运。

遗憾的是,我接受的高等数学教育完全是照本宣科的模式,当年没能领略分析学的美。清晰地记得老师在讲微积分的前几课时,无穷小一会儿不为0,可以做分母,过一会儿又变成0,可以完全忽略掉,匪夷所思、不得其解。老师却从来不解释其中的根源是什么(要是换我做老师,就会告诉学生们:你们不理解不是因为你们笨,当年的伯克莱主教也不理解,其实是这样的…….,这件事的意义是……)。当然老师也绝不会告诉我们采用“ε-δ”方式定义的极限是怎样耗费了什么样的代价被维尔斯特拉斯提出的,甚至不会告诉我们积分符号“∫”是莱布尼兹发明的这种轶事。如此这般,怎能唤醒学生们对这门科学的钟爱?

       还好,现在还不算晚,可以继续学习感受分析学的美。但是,为了避免随之而来的苦恼,还是仅限于一元实分析吧。

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