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——士兵乙的读书笔记

 
 
 

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e的故事:一个常数的传奇  

2013-04-30 14:11:38|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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e的故事:一个常数的传奇 - 士兵乙 - 海阔天空
 
 

π来源于与圆相关的几何问题,由于几何的直观特性,自古代以来它已经被研究了两千多年。相比之下,另一个重要常数e仅有区区400年的历史。那是因为,要真正了解e,必须要参透亘古的无穷,建立起极限概念,并开启分析学的大门。

看着牛顿、莱布尼兹、伯努利、欧拉、柯西、维尔斯特拉斯、黎曼当年的工作,他们苦苦追寻获得的东西,在今天不过是微积分、复变函数课后的练习题。我们站在前人的肩上享受现代文明的一切成果时,有没有心怀感激与敬畏?或者,有没有忘记那个最基本的问题:e是什么,它是如何定义的?

答案:e=Lim(1+1/x)^x   (x→∞)

e之所以如此重要,是因为它真正地反映了大自然的运作法则,所有这一切都源于这样一个朴素的事实:∫(1/x)dx=Ln(x)+C。这意味着:在总量变化率与总量成正比的情境下,总离不开e这个常数。而大自然到处提供这样的场景:人口的出生率与总人口数量成正比(如:若1万人平均每天出生10个婴儿,那么2万人平均每天出生20个婴儿)、原子核衰变率与总原子核数量成正比等。

忽然想起了一道题目:证明放射性元素的半衰期是平均寿命的0.693倍。不能光说不练,证明一下练练手。

证明:设初始有N0个原子。原子数越多,衰变的也就越多,衰变的原子变化率必然正比于还没衰变的总原子数N,所以:

dN/dt=-λN

其中λ>0,取决于该种原子核的稳定性,取符号是为了体现越来越少的趋势。

挪一挪,变成:

(1/N)dN=-λdt

两边积分,利用边界条件N(0)=N0确定积分常数,得到:

N(t)=N0*e^(-λt)

半衰期T就是N(t)=N0/2时的时间:

N0/2=N0*e^(-λT)

把上式解出来就得到了半衰期T:

T=Ln2/λ

平均寿命就麻烦一些了,先看看已经发生衰变的原子数n(t):

n(t)=N0-N(t)

微分之,取导数,得到原子衰变的“速度”:

n’(t)=λN0*e^(-λt)

所有原子的总寿命就是:累计所有原子的“(衰变率×时间片)×寿命”,再考虑到“原子平均寿命”=所有原子的寿命总和/总原子数,所以平均寿命L就是:

L=(∫n’(t)tdt)/N0=1/λ     (积分区间为0→∞)

T=Ln2*L=0.693

因此,放射性元素原子核的半衰期是平均寿命的0.693倍(Ln2)。大自然是如此喜欢e,难怪它被称为“自然”对数的底。

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