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海阔天空

——士兵乙的读书笔记

 
 
 

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漫画微分方程  

2012-06-02 20:44:02|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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漫画微分方程 - 士兵乙 - 海阔天空
 
 

忽然想起了以前的一个同事,一个在公司短暂停留宛如匆匆过客的小姑娘。

2008年,大家一起出差北京的时候,不知是谁弄到了一个有趣的数学题-蜗牛和橡皮筋:有一个橡皮筋,长度为2米,并且以2米/秒的速度均匀拉长。还有一只蜗牛,在地上的速度为1米/秒。蜗牛站在橡皮筋的一端,坚韧地向着另一端前进。问:1、蜗牛能否有朝一日走到橡皮筋的另一端?2、如果能到达,那么是否无论蜗牛走的多慢,蜗牛都能走到胜利的彼岸?当然,橡皮筋可以无限延长而不会断,蜗牛的寿命也足够长,否则就不是数学题而是脑筋急转弯了。

由于没有用武之地,微积分知识早就淡忘已久,但由于当时急于知道答案,我就编了一个数值积分程序,以0.0005秒的步长推演,得知蜗牛会于大约6.39秒走到尽头。而那个刚毕业的小姑娘,则拿出记事本,列出了几个微分方程,一顿猛折腾,得出了解析解:e^2-1,恰好等于6.3890560……….。小姑娘看见LnX,直接就能写出不定积分为XLnX-X+C,令我等赞叹不已。

然而,她毕竟只回答了第1个问题,并没有回答第2个问题,而且可能还会有第3个问题,也是终极问题:是否橡皮筋初始长度无论多长,橡皮筋增长的速度无论多快,蜗牛的速度无论多慢,蜗牛都能够在有限的时间内走到橡皮筋的尽头?

要寻求终极答案,必然要得出通用情况下的解析解,还好这次复习了微分方程。设蜗牛在地上的速度为V0米/秒,橡皮筋长为L米,增长的速度为m米/秒。

令蜗牛据原点的距离为S(t),蜗牛相对地面的速度为V(t),则:

           V(t)=mS(t)/(L+mt)+V0                                   (1)

           S’(t)=V(t)                                                        (2)

(1)式求微分,与(2)式合并,消去S’(t),得到:

           V’(t)=V0/(t+L/m)                                             (3)

求不定积分,并且用V(0)=V0作为边界条件确定积分常数,得到:

          V(t)=V0Ln(t+L/m)+V0-V0Ln(L/m)                 (4)

再次求不定积分,并且用S(0)=0作为边界条件确定积分常数,得到:

          S(t)=V0(t+L/m)[Ln(t+L/m)+Ln(L/m)]              (5)

 而橡皮筋的总长度D(t)为:

          D(t)=mt+L                                                        (6)

符号太多,简化一下,令K=L/m,X=t+K,则:

       Delta=S(t)-D(t)=V0X[LnX+(LnK-m/V0)]         (7)

可以看出,当t不断增大,也就是X=t+K不断增大时,Delta总有一刻会大于0,也就是说,无论蜗牛多么慢、无论橡皮筋初始多长、也无论橡皮筋增大速度多么快,蜗牛最终都可以在有限的时间内到达橡皮筋的终点。

大功告成啦!

看看特例吧,L=2米、m=2米/秒、V0=1米/秒时,若使得Delta=S(t)-D(t)=0,则蜗牛需要t=e^2-1=6.3890560……秒就能到达终点;若V0=0.01米/秒,则蜗牛需要t=e^200-1秒=2.29*10^79年才能到达终点,比现在的宇宙年龄还要大上数十个数量级。

那个小姑娘后来辞职去了海南。走之前,我把我编的那个数值积分程序拷贝了一份给她。。。。。。

我忽然想告诉她我的这项发现,我想她一定会感兴趣的,可惜失去联络已久了。。。。。。

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