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海阔天空

——士兵乙的读书笔记

 
 
 

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黎曼猜想漫谈  

2012-11-03 12:07:28|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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黎曼猜想漫谈 - 士兵乙 - 海阔天空
 
 

又是一本黎曼猜想的书。去年读德比希尔的《素数之恋-黎曼和数学中最大的未解之谜》的时候,颇感黎曼猜想的有趣,于是买了这本新出的《黎曼猜想漫谈》。仔细阅读才发现,这才是真正意义上的一本专业科普书,公式一把一把的,对于没有复变函数论知识基础的读者来说应该是很难理解的。这也更凸显了德比希尔的水平,一本讲数学难题的书,居然可以几乎不用公式就能让精彩的故事娓娓道来、引人入胜,确实难得。事实上,德比希尔的那本书也是卢老师写作本书的主要选题依据之一。如果像霍金所说的,书中公式多一个读者就会少一半的话,恐怕还真没多少人读这本书了。

黎曼猜想无非是想证明一个方程ζ(s)=0的一种(非平凡)零点全都分布在复平面的一条直线Re(s)=1/2上。ζ(s)是一个看起来十分简洁的无穷级数,自然有无穷多个零点,要证明这无穷多个零点都在直线Re(s)=1/2上,显然是不能通过穷举验证所有零点的方法来完成的,因为验证的零点再多其数量也只能是有限的,与浩瀚的无穷相比,与0无异,所以必须通过严格的数学推导才能完成证明。反之,如果想否证黎曼猜想,只要举出一个不在这条直线上的零点的例子就可以了。就是这样一个问题,自从黎曼1859年提出以来,150年过去,仍然没有人能够证明或者否证这个猜想。以至于有的数学家甚至愿意向魔鬼出卖自己的灵魂来换取这一猜想的证明(或者否证),当然目前的状态似乎可以表明:魔鬼也不会。

150年后的今天,有了高性能的计算机,终于可以狂算零点了,如果真的有一个零点不在那条直线上的话,所有醉心于此的数学家们都可以瞑目了。计算机终日不停,几万亿几十万亿地算着,计算结果表明,所有的零点还真全都落在了那条直线上,大大增强了数学家对这条猜想有可能是正确的信心。

不过,还不能高兴得太早,不在Re(s)=1/2上的零点可能非常遥远也说不定。黎曼猜想与素数的分布有着紧密的关系。设x以内的素数个数为π(x),对数积分函数Li(x)=∫1/Ln(x)dx,当x趋近于无穷大时,π(x)~Li(x)。这也是素数定理(PNT)的一种等价形式,曾经于1896年被阿达马和普森分别独立证明。由于不管怎么算,好像Li(x)总是大于π(x)的,于是数学家们曾经以为Li(x)是π(x)的严格上界。1914年,英国数学家李特尔伍德(John Littlewood)证明了π(x)-Li(x)是一个在正负之间震荡无数次的函数。由此看来,人们之所以误认为Li(x)是上界,只是因为算的太少。那么要算到x为多大的时候,Li(x)才能大于π(x)呢?没有人知道,满足条件的最小的x可能也非常巨大,有人估计是10^316,比现在计算机算的10^24要大几百个数量级。根据目前的计算机能力,或许再计算个几百年,能在10^316附近发现一个不在那条直线上的零点。或许还在更远的地方。

我不愿意出卖自己的灵魂,但却非常渴望在有生之年得知最终的答案。

       现代的出版业确实发达。2012年5月作者于纽约完稿,8月国内出版,9月当当网就送货到我手里。倒是我读书显得慢了一点,工作繁忙,读的断断续续,期间甚至旅游还带到泰国走了一遭,耗时2个月终于读完了。
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