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海阔天空

——士兵乙的读书笔记

 
 
 

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三角之美  

2012-01-14 08:51:47|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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三角之美 - 士兵乙 - 海阔天空

三角学之所以是一门悠久的学问,是因为它与人类的工程实践紧密相关,很难能想象没有基础的三角学知识,金字塔能够建造的那样规整。两千年来,三角学经历了三次大的突破。先是托勒密的弦长表,将三角学的研究重点转变为实用的计算科学,计算出每个角度的三角函数值是那个时代最重要的工作,尽管看上去有些枯燥。然后是棣莫弗和欧拉的优美公式,将三角函数扩展到了复数域,将三角学和代数学、分析学结合了起来,进而促进了复变函数理论的大发展。最后是傅里叶定理的出现,一举将复杂事物的普适原则揭露出来:原来所有的周期函数都能够分解为三角函数级数,也就是傅里叶级数。那些激动人心的年代逝去已久,现代人享受着人类文明成果的时候,却往往体会不到三角学在我们身边发挥着重要的作用,比如世界地图。

地球是圆的,怎样在平面上画一张地图,并能够准确地显示任意两点之间的正确距离和方向呢?(几百年以后的18世纪,才由伟大的欧拉证明了这是不可能的,一个球面不可能像圆柱面或者圆锥面一样能不变形地展开成一个平面)。如果只针对一个初始原点绘制地图,完全可以做到既保持距离又保持方向(尽管据初始远点较远的某些“大陆”会严重变形,即不能“保持形状”),但对于初始原点之外的任意两点来看,距离和方向都不能反映真实情况。这对于15世纪大航海时代以来的环球冒险,是生命攸关的事。15-16世纪,为了将球面上的点映射为平面上的点,各路豪杰纷纷出手,提出了多种“制图投影”方式,有的能显示不同国家的相对面积,有的能显示正确距离,有的能显示正确形状,制图者在各种互相矛盾的要素需求中妥协。对于航海,在漫无边际的大海上能够确定方向远比确定形状、甚至距离更为重要。在16世纪,为了将固定方向的航行路线在地图上体现为一条直线,这个听起来似乎浅显的工作其实是当时最重要的制图问题。(葡萄牙人已经证明:沿地球上固定角度斜向行驶的路线实际上是一条螺旋线,无限趋近却永远无法到达地球两极)。也正是为了此种目的,麦卡托投影法诞生了。

麦卡托投影法绘制地图的关键是:将所有纬线拉伸至0度纬线(即赤道)的长度,为了保角,沿东西方拉伸纬线的同时,以同样比例在南北方向上拉伸纬线之间的间距。如此一来,虽然南北极区域的变形比较严重(如格陵兰岛似乎比南美洲还大),但却能正确显示任何两点之间的方向,如图。

 三角之美 - 士兵乙 - 海阔天空

 

直到如今,Google MapNASA仍然采用麦卡托投影的方式绘制地图。可是,现代人浏览网页轻易地就打开一幅地图的时候,谁又能想到其中隐藏着深刻的三角学知识呢?又会有谁像1645年航海权威Henry Bond那样,仅仅通过对照麦卡托投影地图的弦长表,依托惊人的数字直觉发现了下面这个表达式的两边似乎对于任何角度都是相等的呢?

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