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海阔天空

——士兵乙的读书笔记

 
 
 

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好的数学-“下金蛋”的数学问题  

2011-11-02 22:32:56|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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好的数学-“下金蛋”的数学问题 - 士兵乙 - 海阔天空

 

 

由于生病与忙碌工作,好几个月没有读书。近日偶然随手翻了翻本书,竟被其深深吸引,跟随作者笔触,恍恍置身于每一个数学取得进步的那些时代,心旌激荡,甚至不忍卒读,唯恐阅后再无可读。

有些数学问题由来已久,甚至经历了上千年的艰辛探索。读数学史可以回顾来路,理清数学发展的脉络,只需短短的工夫就可以遍览许多数学家穷其一生发现的世间万物一直遵循的极为深刻的规则。或许读几天书,便可以参透人类几百上千年不断奋斗的意义。从这个意义上说,读者站在无数巨人的肩膀上俯瞰世界,他的人生被极大地扩展了………..

“下金蛋”的数学问题是指那些在研究过程中能够启迪新思路、开创新方法,乃至创造崭新研究领域的重要数学问题。书中列出了6个此类问题:多项式方程根式解问题、几何三大问题、欧几里得第五公设问题、四色问题、费马问题和素数问题(即黎曼猜想,参见本博客2011年3月16日博文《素数之恋-黎曼和数学中最大的未解之谜》)。

曾经在读《千年难题:七个悬赏1000000美元的数学问题》(参见本博客2010年12月13日)的时候,感慨于现代数学的高度抽象化,数学似乎已与现实世界渐行渐远(可以看看那个霍奇猜想,呵呵)。然而数学是什么?数学为什么要变得越来越抽象化呢?答案似乎在欧几里得第五公设问题的研究过程中能够初见端倪。

公元前3世纪,欧几里得完成了那本传世巨著《几何原本》。《几何原本》的重要意义不仅在于其给出解答的那数百个问题,而在于它创造性地制定了一套公理化方法,从很少的公设和公理出发,得出了大量的定理和推论,开创了古希腊数学的严密论证传统。公理化方法就是根据极少数不证自明的事实(叫做公理,用于几何问题的叫做公设),进行推导得出一部分定理,再由已经得出的定理得出新的定理,就如连锁反应一样,最终可以得出非常复杂的结论。后世的无数科学家(不仅是数学家)都感慨于《几何原本》所给出的公理化方法,感叹从那么少的公理出发,居然可以得出那么多的结论,难以置信地展现了数学优雅和美。在《几何原本》中,欧几里得的所有结论来源于5条公设和5条公理,这些公设或者公理无非是一些显而易见的事实,比如“通过两点可以确定一条直线”、“直线可以无限延长”、“整体大于部分”等等,唯独有一条,也就是第5公设,总显得怪怪的,似乎可以用别的公设推导出来。欧几里得当年的提法稍显复杂,一种简洁等价的说法是:过直线外一点,有且仅有1条直线与已知直线平行。数学家们总觉得第5公设是欧几里得几何的污点,它似乎可以用其它公设推导出来,于是展开了研究。不幸地是,从“过直线外一点,有无数条直线与已知直线平行”或者“过直线外一点,没有直线与已知直线平行”出发,竟也可以得出一整套几何体系,更为诡异的是:在这2种新的几何体系中,尽管与现实世界格格不入,但是在逻辑上却没有任何矛盾。于是诞生了罗氏(罗巴切夫斯基)几何和黎曼几何,非欧(几里得)几何的大厦开始奠基了。在新的数学思想下,数学描述的不再是普适真理,而是构建了一个逻辑体系,在这个逻辑体系中,完全取消了“数学对直觉和经验的依赖”,它从一组真假不确定的公设出发,只关心公理系统内部逻辑上的一致性,而不在乎与系统外在真实的物理世界之间是否相符。于是,数学不再必须迎合人们凭借自己的经验和直觉所认为的“真实世界”,而仅仅关注于自身逻辑系统的自洽性,从而“数学变成一种毫无内容指称的形式化建构”。

或许正是这种数学本质上的变化,才是当今数学高度抽象化的根源。然而这种新数学游戏又有什么用呢?别忘了阿达马的那番话,数学的“答案出现在问题之前”。在19世纪数学家研究非欧几何时,有谁会预料到几十年后爱因斯坦借助于非欧几何的数学工具描述广义相对论中的时空扭曲?在19世纪数学家研究黎曼猜想的时候,谁能预料到黎曼博士的零点可能深刻地反映着量子力学中的能级跃迁?同样,在2000年前数学家开始研究素数的时候,也没有人能预料到如今你可能正在通过WIFI浏览这篇文章,而数据正汩汩地通过RSA加密算法源源不断地飞向你的终端。

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